Suponha que você precise verificar se o balanço contábil de uma empresa está fraudado ou não. A intuição nos diz que, se a pessoa que lançou valores aleatórios, a probabilidade do primeiro dígito de cada valor ser 1 é a mesma de ser 2, e assim por diante (11,1% para cada dígito). No entanto, os balanços reais e sem fraudes não possuem essa distribuição. Na verdade, a probabilidade do primeiro dígito ser 1 é de mais ou menos 30%, de ser 2 é aproximadamente 17%, e assim por diante conforme a tabela a seguir:
A lei de Benford, também chamada de lei do primeiro dígito, foi definida empiricamente e refere-se à frequência da distribuição de dígitos em vários casos reais. Seu nome é uma homenagem ao físico Frank Benford, que a declarou em 1938 (seu artigo, The Law of Anomalous Numbers, pode ser consultado nesse link), embora tenha sido anteriormente afirmada por Simon Newcomb em 1881. O resultado investigado por Benford não define apenas uma distribuição para os primeiros dígitos, mas uma distribuição para todos os dígitos significativos de um número.
A comparação da distribuição dos dígitos de uma amostra qualquer com a distribuição de valores segundo a Lei de Benford é uma ferramenta muito utilizada na auditoria contábel e em vários outros campos da economia e das ciências sociais. Espera-se que uma distribuição obedeça a Lei de Benford quando: a média é maior do que a mediana e a inclinação é positiva; os números sejam resultantes da combinação matemática de números (quantidade × preço, por exemplo). Sequências numéricas, valores influenciados pelo pensamento humano (preços R$1,99, por exemplo), contas com valores específicos fixos e casos semelhantes não seguem essa lei.
Uma forma de se quantificar a comparação do quanto a distribuição de valores da amostra está próxima à Lei de Benfor é através da estatística de chi-quadrado. Quanto maior o valor de chi-quadrado, maior a discrepância entre a lei e os dados, e também maior a chance de ter havido fraude.
Exemplo
Os dados utilizados para esse exemplo foram retirados da página do Tribunal Superior Eleitoral (TSE) – SPCE WEB. Referem-se ao financiamento de campanhas das eleições de 2014. Um arquivo CSV pode ser baixado e lido pelo R, desde que apagada a última linha e os caracteres “R$ ” serem removidos, além de converter tirar o ponto como separador de milhar e substituir a vírgula para ponto com separador decimal. Isso pode ser feito através do seguinte comando em bash, redirecionando a saída para o arquivo “receita_candidato.csv”:
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cat receita.csv | awk -F';' '{print $7}' | sed 's/R\$\ //g' | sed 's/\.//g' | sed 's/,/./g' > receita_candidato.csv |
Existe um pacote no R que facilita bastante a análise de comparação com a Lei de Benford, o benford.analysis. O autor dispõe algumas análises em seu blog, o Análise real – tag Lei de Benford. Para instalar o pacote (em uma “library” diferente da padrão), use o seguinte comando:
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> install.packages("benford.analysis", dependencies=TRUE, lib="~/Rpacks") |
O seguinte script em R carrega a biblioteca instalada e a série de dados, além de fazer os gráficos para serem analisados (i é o número do candidato analisado):
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 |
#!/usr/bin/Rscript # Script para aplicar a Lei de Benford em uma série de dados # Definindo bibliotecas conforme endereço (suprimindo mensagens iniciais) end_libs="~/Rpacks" suppressPackageStartupMessages(require(benford.analysis,lib=end_libs)) # Carregamento de dados i = 0 filename = paste('receita_',i,'.csv', sep = '') dados = read.csv(filename, header = TRUE, stringsAsFactors = FALSE) # Analisar os dados contra a lei de Benford bfd.cp = benford(dados$Valor) # Imprimir resultados print(bfd.cp) cat('\n\n') # quebra de linha # Analisar suspeitos suspeitos = getSuspects(bfd.cp, dados) print(suspeitos) # Plotar gráficos filename = paste('receita_',i,'.png', sep = '') png(filename) plot(bfd.cp) dev.off() |
A função “benford()” analisa os dois primeiros dígitos dos valores positivos como padrão. A impressão do objeto resultante exibe estatísticas importantes para a análise:
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 |
Benford object: Data: dados$Valor Number of observations used = 487 Number of obs. for second order = 284 First digits analysed = 2 Mantissa: Statistic Value Mean 0.46 Var 0.09 Ex.Kurtosis -1.27 Skewness 0.21 The 5 largest deviations: digits absolute.diff 1 15 70.35 2 50 19.81 3 10 12.84 4 13 11.67 5 11 10.40 Stats: Pearson's Chi-squared test data: dados$Valor X-squared = 639.13, df = 89, p-value < 2.2e-16 Mantissa Arc Test data: dados$Valor L2 = 0.017652, df = 2, p-value = 0.0001847 Mean Absolute Deviation: 0.007708392 Distortion Factor: -7.515548 Remember: Real data will never conform perfectly to Benford's Law. You should not focus on p-values! Valor 1: 1500 2: 1500 3: 150 4: 500000 5: 50000 --- 104: 1500 105: 1500 106: 1500 107: 1500 108: 1500 |
Além de dados gerais, são exibidas estatísticas da mantissa (parte do número em ponto flutuante que contém os dígitos significativos), os cinco maiores desvios, chi-quadrado e outras informações. Para seguir a Lei de Benford, as principais estatísticas da mantissa do log devem seguir os valores:
- média: 0.5
- variância: 1/12 (0.08333…)
- curtose: 1.2
- assimetria: 0
Quanto ao ranking dos maiores desvios, esses dados “suspeitos de fraude” podem ser analisados através da função getSuspects(). Sua saída é uma tabela com os dados dos dois grupos de dígitos com maior discrepância (pela diferença absoluta).
Quando o objeto resultante dessa função é plotado, são impressos gráficos dos dados em comparação com a Lei de Benford (em vermelho), conforme segue:
O primeiro gráfico contém a distribuição dos valores, o segundo mostra a contagem para a diferença dos dados ordenados e o terceiro contém soma dos valores das observações agrupadas por primeiros dígitos.
Análise
Através do primeiro gráfico apresentado, assim como o ranking dos maiores desvios, é possível observar uma grande discrepância nos valores que começam com “15” ou com “50” se comparados aos valores esperados conforme a lei de Benford. Com relação ao segundo gráfico, como os dados são discretos, este saltos decrescentes em 10, 20, 30… são naturais e não devem ser encarados como algo suspeito.
Esses valores discrepantes constituem uma amostra menor do que o total de dados, podendo ser encaminhados para uma análise mais detalhada. Uma explicação seria uma proposta de doação com um valor fixo de 1500 reais, e assim muitas pessoas teriam feito esse tipo de doação. Por outro lado, existe a possibilidade de terem sido inventadas doações ou valores diferentes dos realmente doados.
Alguns exemplos da Lei de Benford aplicada a obras públicas podem ser vistos no site do TCU.
