Ajuste de funções no python

Existem diversos métodos matemáticos e ferramentas no python para ajustar uma função pré-definida a um conjunto de dados, de modo a calcular seus coeficientes. Esse post tem como objetivo ilustrar alguns dos principais métodos com exemplos práticos.

O numpy possui um método de ajuste polinomial para um certo grau informado, conforme o exemplo a seguir:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([ 3.08,  3.1 ,  3.12,  3.14,  3.16,  3.18,  3.2 ,  3.22,  3.24,
    3.26,  3.28,  3.3 ,  3.32,  3.34,  3.36,  3.38,  3.4 ,  3.42,
    3.44,  3.46,  3.48,  3.5 ,  3.52,  3.54,  3.56,  3.58,  3.6 ,
    3.62,  3.64,  3.66,  3.68])

y = np.array([ 0.000857,  0.001182,  0.001619,  0.002113,  0.002702,  0.003351,
    0.004062,  0.004754,  0.00546 ,  0.006183,  0.006816,  0.007362,
    0.007844,  0.008207,  0.008474,  0.008541,  0.008539,  0.008445,
    0.008251,  0.007974,  0.007608,  0.007193,  0.006752,  0.006269,
    0.005799,  0.005302,  0.004822,  0.004339,  0.00391 ,  0.003481,
    0.003095])

deg = 2
z = np.polyfit(x, y, deg)
y2 = np.poly1d(z)

plt.plot(x, y, "*")
plt.plot(x, y2(x), "-")
plt.title('Ajuste polinomial de grau 2')
plt.show()

A classe polyfit usa o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de grau “deg” (2, no caso) em um conjunto de dados “x vs y”. Já a classe poly1d permite calcular o novo vetor y (valores ajustados para cada valor de x).

O SciPy possui a classe “optimize”, cujo método curve_fit calcula os coeficientes para uma função objetivo, definida pelo programador. Veja o exemplo a seguir, usando os mesmos dados:

#!/usr/bin/env python3.7.6
# -*- Coding: UTF-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.optimize import minimize

def func(x, a, b, c):
	return a*x**2 + b*x + c

x = np.array([ 3.08,  3.1 ,  3.12,  3.14,  3.16,  3.18,  3.2 ,  3.22,  3.24,
    3.26,  3.28,  3.3 ,  3.32,  3.34,  3.36,  3.38,  3.4 ,  3.42,
    3.44,  3.46,  3.48,  3.5 ,  3.52,  3.54,  3.56,  3.58,  3.6 ,
    3.62,  3.64,  3.66,  3.68])

y = np.array([ 0.000857,  0.001182,  0.001619,  0.002113,  0.002702,  0.003351,
    0.004062,  0.004754,  0.00546 ,  0.006183,  0.006816,  0.007362,
    0.007844,  0.008207,  0.008474,  0.008541,  0.008539,  0.008445,
    0.008251,  0.007974,  0.007608,  0.007193,  0.006752,  0.006269,
    0.005799,  0.005302,  0.004822,  0.004339,  0.00391 ,  0.003481,
    0.003095])

popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, '*')
plt.plot(x, func(x, *popt))
textstr = 'a=%5.3f\nb=%5.3f\nc=%5.3f' %tuple(popt)
ax.text(0.05, 0.95, textstr, transform=ax.transAxes, fontsize=10,
        verticalalignment='top')
plt.title('Ajuste polinomial de grau 2')
plt.show()

A função “func” foi definida como uma função de grau 2, gerando os mesmos resultados que o exemplo com o numpy.

O método minimize (“out = minimize(j, coef, method=’BFGS’)”, por exemplo) recebe um vetor com um chute inicial de valores para cada um dos coeficientes (“coef = [1, 1., 0]”) e uma função objetivo “j” que define como deve ser a minimização (“return abs((y – func(x, *coef)).sum())”).