Resumo de operações com vetores

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As grandezas escalares são plenamente definidas através de um número acompanhado de uma unidade de medida adequada, como temperatura de 30°C, distância de 35 km ou volume de 20 litros. Já as grandezas vetoriais (do latim vector, que significa “aquele que carrega”) somente são completamente caracterizadas quando informados seu módulo (ou intensidade), sua direção (norte-sul, radial, etc) e seu sentido (de norte para sul, do centro para a borda, etc) – por exemplo, a velocidade e a força. Veja mais sobre o que é um vetor e um resumo das principais operações envolvendo vetores.

Exemplo de um sistema de coordenadas bidimensional x versus y, mas que também pode ser norte versus leste. A aeronave voa segundo o vetor "a" com módulo da velocidade em nós (kt), na direção sudoeste-nordeste e sentido para nordeste. O ângulo entre o norte verdadeiro (NV) e o caminho da aeronave é o rumo verdadeiro (RV), correspondendo ao valor de 45°.

Exemplo de um sistema de coordenadas bidimensional x versus y, mas que também pode ser norte versus leste. A aeronave voa segundo o vetor “a” com módulo da velocidade em nós (kt), na direção sudoeste-nordeste e sentido para nordeste. O ângulo entre o norte verdadeiro (NV) e o caminho da aeronave é o rumo verdadeiro (RV), correspondendo ao valor de 45°.

Os vetores são designados usando um sistema de coordenadas, que contém uma origem e direções definidas a partir dela. Em uma folha de papel, geralmente utilizamos duas dimensões (altura e largura, vide figura acima), já no dia a dia temos três dimensões (altura, largura e profundidade), sendo cada uma dessas direções uma componente (ou eixo) desses sistema de coordenadas. Por exemplo, o avião possui eixos transversal (de uma asa a outra), longitudinal (do nariz à cauda do avião) e vertical. Outro exemplo são as coordenadas geográficas: latitude, longitude e altitude (veja mais sobre coordenadas geográficas clicando nesse link).

Combinação linear

Uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos multiplicando-se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b são constantes). Caso um vetor seja uma combinação linear de outros, diz-se que são linearmente dependentes (LD); caso contrário, são linermaente independentes (LI), que é o caso de uma base ortogonal (todos os vetores fazem ângulo de 90° entre si).

Produto escalar

O produto escalar (ou interno) é uma função binária (ou seja, uma regra que associa a um elemento a de um conjunto A e um elemento b de outro conjunto B a um elemento c de C) definida entre dois vetores que fornece um valor escalar como resultado. Geralmente é representado por um ponto entre dois vetores. Geometricamente, é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção vetorial de A em B.

Produto vetorial

Exemplos da aplicação da regra da mão direta: parafusar (note que o sentido de giro da chave de fenda determina se o parafuso está sendo preso ou solto) e ação de forças em Física.

Exemplos da aplicação da regra da mão direta: parafusar (note que o sentido de giro da chave de fenda determina se o parafuso está sendo preso ou solto) e ação de forças em Física.

O produto vetorial (ou externo), é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial que pode resultar em outro vetor. O resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais, regra essa conhecida como “regra da mão direita”. É utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético, assim como as definições de torque e momento angular. Geometricamente, o comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (com um escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

Gradiente

No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Palavra derivada do latim gradus que significa “passo, deslocamento numa série, ponto numa escala”, podendo significar em Física a “variação de uma grandeza”. Por exemplo, para encontrar um bife, o cachorro calcula o gradiente das partículas de cheiro no ar para saber a direção da maior alteração da quantidade de cheiro (para onde tiver cheiro mais forte, essa será a direção de onde está o bife).

Divergente

Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a magnitude de “fonte” ou “poço/sorvedouro” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto. O Teorema de Gauss é o resultado de ligações entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. É fundamental no estudo matemático da Física, em particular eletrostática e dinâmica dos fluidos.

Rotacional

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Por exemplo, se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido ali gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita. Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. Um de seus casos particulares é o o teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Laplaciano

O Laplaciano é um operador diferencial de segunda ordem, representado pela letra grega delta ou pela letra grega nabla elevado à segunda (por realizar derivadas de segunda ordem).

Veja um resumo com as principais operações utilizando vetores:

Fontes

Wikipedia
Vetores e Geometria Analítica, Paulo Winterle, São Paulo, 2000

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